M.Ö. 300: A Space Odyssey

İskenderiye(Alexandria), Mısır’ın en eski şehirlerinden biri. Mısır’ın en fazla turistik gezi yapılan yerlerinden biri olan bu liman kentinin Yunanistan’ın en önemli sanatçılarından Alkistis Protopsalti’nin doğum yeri olmasından başka çok da fazla bir özelliği yok günümüzde. Yazımızın konusunun matematik ve geometri olduğunu belirtip şu İskenderiye meselesini biraz açalım. Mısır’ın yoksul kentlerinden biri olan İskenderiye bundan yaklaşık 2300 yıl önce bilimsel bilginin ve bilim insanlarının merkezi desek yanılmış olmayız. Makedonya Kralı ve Aristo’nun öğrencisi Büyük İskender M.Ö. 332 yılında kurduğu bu şehrin adını koyarken müthiş mütevazi davranmasının yanında bir de kente o zamana kadar kurulmuş en büyük kütüphaneyi yaptırmış. İskender’den sonra gelen Soter de devamını getirip bir müze kurmuş ve bu liman kenti bir anda bilimin merkezi haline gelmiş. Artık farklı alanlardan bilim insanları bu şehri ziyaret ediyor ve 900.000 kitaplık devasa kütüphane bilimsel gelişmeye öncülük ediyordu. Tabi bundan birkaç yüzyıl sonra Jul Sezar tarafından kuşatılan İskenderiye en önemli hazinesi olan kütüphanesini Romalıların yakmasıyla trajik biçimde kaybetmiştir. 900.000 kitap olduğunu düşününce insan bi üzülüyor ama Romalılar işte, yakıpyıkmaktan başka bir şey bilmiyor arkadaşlar…


Neyse konumuza gelelim. İşte bu İskenderiye M.Ö. 330 yılında çok önemli bir bilim insanının doğumuna tanıklık ediyor. “Geometrinin Babası” olarak bilinen Öklid işte bu şehrin kütüphanesinde kazanıyor bu ünvanını. Atina’ya gidip ‘geometri bilmeyenin giremeyeceği’ Akademi’de eğitimini tamamladıktan sonra İskenderiye’ye gelip bir matematik okulu kuran Öklid hayatının kalanını da bu şehirde geçirir. “Elementler” isimli kitabı 2000 yıldan fazla geometri için referans kaynağı olur, en çok dile çevrilen ve en fazla basılan kitaplardan biri olarak bilinir. 19. yüzyılda Riemann ve Laboçevski meydana çıkana kadar Öklid’in geometrisi geçerli olan tek geometriydi. Öyle ki “Elementler” isimli kitabıyla önce bazı terimleri tanımlamış, sonra bu tanımlardan postulatlar(doğruluğu açık seçik olan önermeler) üretmiş, sonra da bu postulatlara dayanarak bir geometri sistemi inşa etmiş bu abimiz. Ancak “Elementler”de ortaya koyduğu 5 önermeden sonuncusu başına bela olmuş ve Öklid-dışı geometrilerin oluşmasına neden olmuştur. O son postulatı yazmayacaktın be Öklid…


“Elementler”de geçen 5 postulatı belirterek tartışmalarla devam edebiliriz:


1. İki noktadan bir ve yalnız bir doğru geçer.

2. Bir doğru, doğru olarak iki yöne de sonsuza kadar uzatılabilir.

3. Merkezi ve yarıçapı verilen bir çember çizilebilir.

4. Bütün dik açılar birbirlerine eşittir

5. Bir doğruya dışındaki bir noktadan yalnız bir tek paralel doğru çizilir.


Aslında 5. postulatı İskoç Matematikçi John Playfair tarafından düzenlenmiş haliyle yazdık. Postulatın orjinali şöyle: ‘İki doğruyu diklemesine kesen doğru parçasının aynı tarafındaki iç açılarının toplamı iki dik açının toplamından azsa, bu iki doğru sonsuza kadar uzatıldıklarında bir noktada kesişirler.’


“Geometri bilmeyenler yazımızı okuyamaz” şartını koyarak 5. postulatın aslında “bir üçgenin iç açılarının toplamı 180’dir” ile denk bir postulat olduğunu söyleyebiliriz. Ancak 1830’larda Laboçevski bu postulata itiraz ediyor ve “bir doğruya dışındaki bir noktadan sonsuz paralel doğru çizilebilir” diyor ve bu durumda üçgenin iç açılarının 180’den küçük olacağını söyleyerek Hiperbolik Geometri adıyla ilk Öklid-dışı geometriyi kuruyor. Daha sonra adına hipotez, yüzey, integral, gibi dünya kadar şey olan Riemann isimli dahi abimiz çkıyor ve Öklid’e şöyle diyor: “Yav Öklid iyi hoş diyorsun da yanlış diyorsun, bir doğruya dışındaki bir noktadan hiçbir paralel doğru çizilemez! Kağıtta mı yaşıyoruz abicim biraz küresel düşün yapma gözünü seveyim” diyerek matematik dünyasını alt üst ediyor ve yeni bir Öklid-dışı geometri olarak Riemann Geometrisi’ni (Küresel Geometri) inşa ediyor. Ayrıca küresel geometride kürenin içinde kesişen iki nokta ve bir de kürenin uç noktası bize bir üçgen oluşturacaktır ama bu üçgenin iç açıları toplamı 180 dereceden büyük oluyor. Tüm bunlar yetmezmiş gibi Riemann durmuyor, Öklid’in 2. postulatına da kafayı takıyor. Bir doğrunun iki yöne de sonsuza kadar uzatılabileceğini söyleyen Öklid’e karşı Riemann doğrunun sınırsız olduğunu, fakat sonsuz olmadığını, uzunluğunun sonlu olduğunu söylüyor. Tüm doğru önermelerin küresel düzeyde incelenmesinin ardından Riemann’ın haklılığı ortaya çıkıyor ve günümüzde en geçerli geometri olarak Riemann geometrisi kabul ediliyor.


Kağıt üzerine değil yeryüzüne çizilen üçgenlerle ilgilenen Riemann Geometrisi ilerleyen zamanlarda bilimsel gelişme açısından çok önemli bir yol açıyor ve Einstein’ın Görelilik Teorisi’nin dayanaklarından biri oluyor. Reimann’dan bu kadar fazla bahsetmemiz yazımızın konusunun Öklid olduğunu ve “geometrinin babası”nın hala Öklid olduğunu değiştirmez elbette. Öklid geometrisinin sorgulanması için 2 bin yıl beklenmiş ve onu aşan geometriler de onun ortaya koyduğu temel aksiyomlardan ve tanımlamalardan yararlanmıştır. 2300 yıl önce ispat ve aksiyomlara dayanan “formel” bir sistem inşa eden Öklid’in insanlığın ve bilimin ilerlemesine kattıkları tartışılmaz elbette. Çalışmalarında Reimann Geometrisi’ni kullanan Einstein’in Öklid’in ‘Elementler’ adlı eseriyle ilgili yaptığı yorum aslında birçok şeyi özetliyor: “Gençliğinde bu kitabın büyüsüne kapılmamış bir kimse, kuramsal bilimde önemli bir atılım yapabileceği hayaline boşuna kapılmasın!”