Kasa Her Zaman Kazanır

Vakti zamanında Twitter’da matematik tarihinde önemli yeri olan problemleri sorup cevap istediğimiz anketler yapmaya karar verdik. Amacımız sosyal medyayı daha aktif kullanabilmekti. Bu problem paylaşma işi tutar mı diye uzunca düşündük, sonunda dedik ki tutar bu yapalım. Tutmadı. Twitter’daki problemlerimizden birisi şuydu; birinci oyunda 4 zar atışıyla en az bir kere 6 atmak kazandırıyor, ikinci oyunda 24 çift zar atışıyla en az bir kere 6-6 atmak kazandırıyor. Hangi oyunu kazanma olasılığı daha fazla? Bir diğeri de şuydu; 3 oyun kazananın ödülü alacağı bir şans oyununda birinci oyuncu 1, ikinci oyuncu 2 oyun kazanmıştır. Bu noktada oyunu durdurmaları gerekirse ödül nasıl bölüştürülmelidir? Bu iki problem bugünkü olasılık teorisinin ilham kaynaklarıydı. 17. Yüzyılda hızla yaygınlaşan kumar çılgınlığı işletmecilerle kumarbazları değişik oyunlarla karşı karşıya getiriyordu. Zamanın ünlü kumarbazlarından birisi de Chevalier de Méré idi. Chevalier saygın, zengin, kumarbaz, cool bir Fransız olmasının yanında olasılık teorisinin fitilini ateşleyen üstteki ilk soruyu da soran kişiydi. Normalde oynadığı oyunda 4 zar atışında en az bir kez 6 getirmesi ödülü kazanmasına yetiyordu. Bu oyunu değiştirmek isteyen Chevalier, daha fazla kazanmak umuduyla 24 defa attığı çift zarları en az bir kere 6-6 getirerek ödülü almak istemişti. Ancak daha sonra fark etti ki bu ikinci oyunda daha az kazanıyordu. Bunun sebebini anlamaya çalışan Chevalier, problemi yakın arkadaşı, ünlü matematikçi, Blaise Pascal’a sormaya karar verdi. Pascal problemi çözmekle kalmayıp işi biraz abarttı, adeta suyunu çıkardı. Problemin çözümünü analiz etmek için yine ünlü bir diğer matematikçi Fermat’la mektuplaşmaya başladı. İşte bu mektuplar olasılık teorisinin ilk yazılı çalışmalarını oluşturmaya başlamıştı. Dostça bir sohbet büyük bir teoriye dönüşmüştü. İşte bu yüzdendir ki whatsapp sohbetlerimi hep saklarım, ne olur ne olmaz. Olasılıkta artık temel kavramları ilkokuldan itibaren öğrenmeye başlıyoruz. Yukarıdaki problem sekizinci sınıf test kitaplarında yer alabilecek düzeyde, ancak ilk sorulduğu zaman için oldukça zor bir problemdi. Olasılık bilgilerimizin hepsini kullanmadan problemi çözmek oldukça zor, tek tek bütün ihtimalleri düşünmemiz lazım. Düşünelim: Birinci oyun için; 1. atışta kazanma ihtimali açıktır ki; 1/6 2. atışta kazanma ihtimalinde dikkat etmemiz gereken şey ilkinde kazanamamış olması. İlk atışta kazanamama ihtimali 5/6, ikincide 6 getirme ihtimali 1/6. O halde ikinci atışta kazanma ihtimali (5/6)x(1/6)=5/36. (Bu çarpımı yaparken olasılık bilgimizi kullandık, Pascal döneminde bunun yapılabileceği henüz tam olarak bilinmiyordu.) 3. atış için de ilk ikisinde kazanamadığını hesaba katarak düşünürsek; (5/6)x(5/6)x(1/6)=25/216 3. atışta kazanma ihtimali olur. 4. atışta kazanma ihtimalini de aynı şekilde; (5/6)x(5/6)x(5/6)x(1/6)=125/1296 buluruz. Parayı kazanmak için hangi atışta kazandığının bir önemi yok, 4 atışta en az bir kere 6 getirmesi gerek. Yani bu 4 ihtimal de ödülü alması için yeterli. O halde ödülü kazanma ihtimali bu dört ihtimalin toplamı olmalı. Bulduğumuz 4 ihtimali toplarsak ödülü alma ihtimalini yaklaşık; (1/6)+(5/36)+(25/216)+(125/1296)= 0,51 buluruz. Yani %51. Şimdi diğer oyuna bakalım: Çift zar atıldığı için 36 ihtimal var, ve sadece bir tanesi kazandırıyor. 1. Atışta kazanma ihtimali; 1/36 2. Atışta kazanma ihtimali; (35/36)x(1/36)=35/1296 3. Atışta kazanma ihtimali; (35/36)x(35/36)x(1/36)=1225/46.656. Gördüğünüz gibi sayılar çok hızlı büyüyor. Yapmamız gereken 24. atışa kadar tüm hesaplamaları yapıp sonrasında tüm sonuçları toplamak. İlk oyundaki gibi. Bu toplamı bir seri ile ifade edip sonucu direkt yazalım. (Biz önceden tek tek de yaptık böyle çıktı.)



Yani ikinci oyunu kazanma ihtimali yaklaşık %49. Birinci oyuna göre daha az. Pascal bir şekilde bu problemi çözdü ve Fermatla birlikte ileri gitmeye başladı, biz de gidelim: Olasılık teoreminin başında önemli iki temel kural vardır. Birincisi; Bir olayın olma olasılığı 0 ile 1 arasındadır. 0, olayın gerçekleşmesinin imkansız olmasını; 1 ise olayın gerçekleşmesinin kesin olduğunu ifade eder. İkincisi; Bir olayın olası tüm sonuçlarının olasılıkları toplamı 1’e eşit olmalıdır. Bu gerçekler ışığında yukarıdaki probleme bir de şu açıdan bakalım. Olası tüm olasılıkların toplamı 1 ise bir olayın olmama olasılığını 1’den çıkartırsam o olayın olma olasılığını bulurum. Bunun böyle olduğundan yukarıdaki kurallar sayesinde emin oluyorum. O halde Chevalier’in oyunlarının kazanamama ihtimalini 1’den çıkartarak kazanma ihtimalini bulalım. İlk oyun için; İlk atışta 6 gelmeme olasılığı; 5/6. İkincide de 6 gelmeme olasılığı; (5/6)x(5/6). Üçüncüde de gelmeme olasılığı; (5/6)³

(^ işareti üzeri anlamında)

Yani n atışta 6 gelmeme olasılığı için şunu söyleyebiliriz; (5/6)^n ve 4 atış için kaybetme olasılığımız; (5/6)^4=0.48225308… O halde yukarıdaki kural yardımıyla kazanma olasılığımızı; 1-(5/6)^4=0,51774691… buluruz. Bu ilk hesaplama yöntemimizdeki sonuç ile aynı. Çünkü olasılık teorisine göre aynı şeyi yaptık. İkinci oyun için de yeni bilgilerimizi kullanarak hemen sonuca ulaşalım;

1-(35/36) 24=0.491403876130903…

Yani yaklaşık %49. Özetle matematiksel olarak birinci oyun %51 ihtimalle kazanılıyorken ikinci oyun %49 ihtimalle kazanılıyordu. Chevalier’in az bir fark olmasına rağmen ikinci oyunda daha az kazanmasını fark edecek kadar kumar bağımlısı olması bugün hayatımızın her anına etki eden bir teorinin doğuşuna sebep olmuştu. Siz hala her işte bir hayır olduğunu düşünmeyiverin. Popüler bir goygoy ile devam edip bitirelim. Yazıyı okurken aklınıza Chavelier’in iki oyunda da şansı eşittir, ya kazanır ya kazanmaz diye bir düşünce geçmiş olabilir, maalesef twitter’daki etkinliğimizde sorulara bunun gibi cevaplar verenler yüzünden tutmadı. Neyse biz mantıklı bir açıklama getirmeye çalışalım. Olasılık teorisi için iki kural vermiştik. Bir olasılığın olma olasılığı 0 ile 1 arasındadır dedik. Bu önemli bir kural, sağdan soldan uydurma değil, bu kuralı çiğnerseniz yaş problemlerinde dedenizden büyük çıkabilirsiniz. Şimdi Chevalier’in birinci oyununa ya kazanır ya kazanmaz gözüyle bakalım; Birinci atışta 6 getirme ihtimali; hımmm, ya kazanır ya kazanmaz, ½ veya %50 diyelim. İkinci atışta 6 getirme ihtimali; e o da %50. Üçüncü atışta 6 getirme ihtimali; düşünüyorum o da %50. Dördüncü atışta 6 getirme ihtimali de çok açık; %50. Hangi atışta 6 getirirse getirsin ödülü alacak, o halde tüm ihtimalleri toplayıp 4 atışta ödülü alma olasılığını bulalım. ½+½+½+½ = 2 Verin Chevalier'in parasını.

Son Paylaşımlar

Hepsini Gör

Little, Little, Into The Middle

Bir a tamsayısı, bir de p asal sayısı alalım, bir de a sayısı p’nin katı olmasın. Öyleyse Fermat’ın Küçük Teoremi’ne göre: a üzeri (p-1)’i, p’ye bölersek kalan her zaman 1 olur. Yani bölme ta

Kozmik Manzaranın Haber Tellaları

Tarih boyunca insanlık gökyüzüne hep hayretle bakmıştır. Etrafımızda dönen güzellikler harikası kozmik resim, bizi düşündürmüş ve özel hissettirmiştir. Binlerce yıllık insanlık yolumuzda bu tablo bizl

Akademi; Platon ve Ötesi

Antik Yunan’ın en bilge filozoflarından Platon, zamanında üçü beş yapıp satın aldığı Atina yakınlarındaki zeytinliği bir küçük esnafa yakışır biçimde kullanmamış, orada çeşitli doğa bilimleri, matemat