500T

Eski zamanlara şöyle bir gidelim, işlemlerin elma armut hesabı ile yapıldığı zamanlara. Eğer sizin üç elmanız varsa en fazla üç elma verebilirsiniz. Henüz kapitalizm dünyayı ele geçirmemiş, yani üç elmamız varsa dört elma veremiyoruz. İşin matematiğinde, 3 - 4 gibi bir işlem oldukça kafa karıştırıcıydı. Bu sebeple "negatif sayı" diye bir kavram henüz kabul görmüyordu.


Negatif sayıları ilk kimlerin kullandığı konusunda ortalık karışık, M.Ö. 200’lerde Mısırlıların kullanmış olabileceğine işaret eden papirüsler var, M.Ö. 50-100 yıllarında Çinliler bir yoklamış, M.S. 250 yıllarında Yunan Diophantus ünlü “Arithmetica” kitabında çözümü negatif olan denklemlerin çözümleri için “absürd” demiş. Kesin olarak bu sayıların Avrupa’da kabul edilişi 1600’leri buluyor. M.Ö. 200’lerde başlayan serüven ancak 1600’lerde sonlanabilmiş.


Negatif sayılara neden ihtiyacımız olduğunu tahmin etmesi zor değil, borcunun arkasında olan, borcunu takip eden hak hukuk sahibi insanlar sayesinde bir şekilde negatif sayılara ihtiyaç duyduk ve keşfettik. Ya da icat ettik, keşif de olabilir, icat mıydı yoksa? Konu matematik olunca şu konuya girmeden çıkmak mümkün değil, bu konuya girince de çıkmak zaten teklif dahi edilemez. Neyse yazının konusu bu değil, hiçbir zaman da olmayacak. Millet uzaya insan gönderiyor biz hala matematik icat mı keşif mi…


Negatif sayılara bir şekilde ulaştık, peki sanal sayılar? İşte bu güzel bir konu. Buyurun sohbete…

Sondan başlayalım, sanal sayılarla bugün hala neden çalışılıyor?


Sanal sayıların da içinde bulunduğu sayılara “karmaşık sayılar” diyoruz, bu sayıların üzerine çalışma yapmaya, yani analiz etmeye de kısaca “karmaşık analiz” diyeceğiz. Karmaşık analiz aslında problemleri matematiksel olarak analiz edebilme ve çözümleyebilmemizde kolaylık sağlamakta, reel analizin yetersiz kaldığı durumlarda devreye girmektedir. Cebirsel geometri, sayı teorisi, uygulamalı matematik gibi matematiğin birçok alanına katkı sağlamakla beraber kuantum fiziği, termodinamik gibi fiziğin alt dallarında ve bunun yanı sıra elektrik mühendisliğindeki devrelerin temelini oluşturan formüllerde, nükleer, uzay, makine mühendisliği gibi alanlarda da kullanılmaktadır. “Matematik gereksiz ya” diyenleri saf dışı bıraktıysak başa dönüp devam edelim.

Tarihte karmaşık sayıların uzun süre yok sayıldığını görebilmek mümkün.


“Matematik için matematik” anlayışı değil de “Halk için matematik” –yani yalnızca günlük hayat ihtiyaçları için yapılan matematik– dönemlerinden daha sonraki zamanlarda, denklemlerle haşır neşir olmaya başladığımız dönemlerde, kendisi ile çarpımı negatif olan sayılar ile karşılaşılıyordu. Denklemler, ilk dönemlerde geometri yardımıyla çözüldüğü için karesi negatif bir sayı çözümünün varlığını kabul etmek, bir düzlemin yok olduktan sonra başka düzlemleri yok etmeye devam etmesi gibi “absürd” anlamlar ortaya çıkarabilirdi. Bu, o dönem için anlamaya çalışmaya bile değmeyecek bir şeydi.


Bilinmeyenler yardımı ile denklem çözümüne geçildiğinde bile matematikçiler, gibi ifadeler ile karşılaşınca çözümü burada bırakıp çözüm yoktur diyorlardı; Heron, Diophantus gibi matematikçiler bu tarz ifadelere "anlamsız" diyorlardı. 9. yüzyılda Hintli Matematikçi Mahaviracarya, karesi negatif olan sayıların kökü olmadığını iddia etti.


Yaklaşık 3400 yıl boyunca matematikçiler, çözüm odaklı olmak yerine negatif sayıları yok sayıp problemleri çözümsüz bırakmışlardır. Ta ki Cardano'ya kadar. 1550’lerde Cardano, bu tarz sayılar için "akıl işkencesi" tabirini kullansa da, karmaşık sayılar için bir devrim başlatmıştı. Sonunda negatif sayılara olan direnç kısmen kırılmış olsa da hâlâ bir sayının karesinin negatif olabileceği düşüncesi kabul görmüş değildi. Cardano bu akıl işkencesi sayıların, yani sanal sayıların, cebirde kullanılmasını sağlayan ilk insan olarak önemli bir adım atmış oldu. Cardano 2.dereceden bir denklemin kökleri üzerine yoğun bir şekilde çalıştı. 3.dereceden denklemin kökleri için ise Bombelli araştırmalar yaptı; sonuç olarak karmaşık sayılar kullanarak denklem çözümlerinin çok daha kolay yapılabildiğini fark ettiler.


Sanal sayılar ismi, denklem çözümlerini kolaylaştıran bu isimsiz kahramanlara 1637’de veriliyordu. İsim babası Descartes, sanal sayıların olduğu yerde gerçek çözümün olmadığını savunuyor ve bu görüşü Newton da destekliyordu. Leibniz ise bu sayılar için olmak ile olmamak arasında bir köprü diyerek adeta Shakespeare’e diss atıyordu.


Matematik tarihine ilgili okuyucunun, “ee Euler ne zaman girecek” diye söylenmeye başlamış olacağını tahmin ediyoruz. Matematikte ne kadar boşluk varsa doldurmaya, en güzel formülleri, en güzel denklemleri bulmaya ant içmiş Euler, sanal sayılar hakkındaki tartışmaya da burada dahil oluyor ve altın bir dokunuş yapıyordu. Euler, 1750’lerde sanal sayıları


√-1 = i


şeklinde formülize etmişti. (Kimi kaynaklarda √-1 = i ifadesinin Gauss tarafından bulunduğu yazılıdır, biz Gauss’u birazdan öveceğiz.)


Euler bununla kalmayıp sanal sayıları trigonometri ile de birleştirmiş ve adı ile anılan Euler formülünü geliştirmişti;

Onun ardından, de Moivre bu formülü

şeklinde genelleştirecekti.


Bu formüller çok değerli ve kimilerine göre ilginç, ayrı bir yazıyı da hak ediyorlar, o yüzden bu formülleri burada özgür bırakıp hikâyeye devam edelim.


Euler bir devrime büyük katkılar sundu ancak eksik olan bir şeyler hala vardı. Bunlardan en önemlisi: Bu sanal sayılar tek bir kısımdan oluşmuyordu. Denklemler çözüldükçe anlaşıldı ki bu sayıların sanal olması dışında bir de "gerçek" kısımları vardı. Yani içlerinde reel sayıları da barındıran bir "karmaşık" yapıydılar. Gauss bu sayılara gerçel ve sanal kısımdan oluşan karmaşık sayılar dedi ve böylelikle bir zamanlar negatif sayının varlığı yok sayılırken, bu düşünceye tamamen aykırı bir sayı biçimi resmen doğmuş oldu. Gauss bu sayıları düzlemde bir nokta gibi düşünmüş ve kompleks bir düzlem üzerinde çalışarak Kompleks Analiz‘in temellerini atmıştı. Negatif sayıları reddedenler mezarında ters dönerken, matematik alanında etkisi bütün bilimlere dalga dalga yayılacak gelişmeler yaşanıyordu.


Artık birçok matematikçi karmaşık analiz üzerine çalışmalara yoğunlaşmıştı çünkü çözümlerde büyük kolaylık sağlıyordu. Bunlardan birisi de Hamilton; kompleks düzlem üzerine bu sayıları (x,y) ikilisi şeklinde göstererek kompleks sayıları genelleştirmiş; daha anlaşılır kılmış ve toplama & çıkarma işlemlerinde kolaylık sağlamıştır. Reel sayılar sayı doğrusu üzerinde gösterilirken, kompleks sayılar ise düzlemde gösteriliyordu. Bu düzlemdeki doğrulardan bir tanesi, reel sayılar doğrusuydu. Öyleyse karmaşık sayılar, reel sayıları da içerisinde barındırıyordu. Yani, o zamana kadar bilinen tüm sayılar karmaşık sayıların içindeydi.

Son Paylaşımlar

Hepsini Gör

Nasıl Tak Diye Buradayım, Saniyede

Üstteki fotoğraf ilk bakışta gösterişli bir saray avizesini anımsatsa da ondan çok daha işlevsel teknolojik bir ürün olduğuna dair bahse girerim. Google, IBM gibi dünyaya yön veren şirketlerin ve hükü

Kasa Her Zaman Kazanır

Vakti zamanında Twitter’da matematik tarihinde önemli yeri olan problemleri sorup cevap istediğimiz anketler yapmaya karar verdik. Amacımız sosyal medyayı daha aktif kullanabilmekti. Bu problem paylaş

Little, Little, Into The Middle

Bir a tamsayısı, bir de p asal sayısı alalım, bir de a sayısı p’nin katı olmasın. Öyleyse Fermat’ın Küçük Teoremi’ne göre: a üzeri (p-1)’i, p’ye bölersek kalan her zaman 1 olur. Yani bölme ta